上帝或许不掷骰子,但可能会踢足球|图片中的数学之美

  人们喜爱图片,总能第一YǎnJiù看Dào它们。我们的大脑不是用Lái读字母、写数字、做复式记账、编乐谱或解数学方程的,这些都只是人类Gù事的插曲。人类生存和进化的环境其实更适合被理解和记忆为图像。我们觉得图片趣味十足,能传播知识、便于记忆、给Rén以启发。 在Zuì早的Rén类学Wén化遗址中,蕴合着极其复杂的图像,例如拉斯科洞窟壁画。即Shǐ在今天,这些Tú像也堪称艺术品。图片以Shēng活为Jī础,把原Shǐ社会中的关系拼接在一起,以各种风格Hé主题勾Lēi出人类历史的各个阶段,并跨越千Gǔ留下了Zhuàn统和社会的记忆。图片也曾集中反映宗教情Gǎn与Zōng教思考,激发人Mén把自己单纯作为主体进行内在的思维活动。在所Yǒu表现形式中,图片力Qiú再现并概括现实的Dōng西,使之产生瞬间的冲击Lì——无须记忆,却难以忘怀。 在过去的30年中,人类最伟大的成Jiù之一,就是一些极其简单的规则可以从丝毫没有随机性和不确定性的条Jiàn出发,最Zhōng导致从RènHè现实Jué度上Lái说都Wán全无法YùCè的情况。下文经出版社授权摘编自《科学De画Láng:图片里的科学史》,其中分享了三Gè经典图Piàn中的数学发现故事。《科学的画廊:Tú片里的科学史》,约翰·D.Bā罗Zhuó作,唐静 等译,人民Yóu电出版社2022年6Yuè。五Gè大明星柏拉图多面体数学史上最美妙、最独特的发现之一。——赫尔曼·外ěr  多边形就是你在一张平整的纸上画的由直边围成的图形。正多边Xíng的边长相等,Nèi角也相等。尽管Yǒu这些限制,正多边形仍然有Wú穷多Zhòng。最简单的例子就是有三条边和四条边DeZhèngSān角形和正方形了,当然还Kè以有Gèng多条Biān。说出任何一个确定的数字,无论它有多大,只要你的铅笔够用,就一定能够画出一个拥有相同数量的边的正多边形。随Zhuó边数增大,你Yòng肉Yǎn越来越难以分辨多边形和圆形了。我们可YǐBǎ圆形想成由无限多Tiáo边组成的多边形。总之,正Duō边形的数量是无限的。如果我们把Zhù意力从Píng面多边形转向它在三维空间中Duì应的概念,那得到的就Shì凸多面体,即向外凸的多平面Lì体图Xíng。如果对平面没有特殊要求,那么它们就Huì产生无数种可能。但是,假设我们把对象限制在正凸多面体上,即各个面完全相同的Duō面体,那么会有多少种可能呢?这Xiē图形是莱昂纳多·达·芬奇的画作,收录Zài意大Lì数学家Lú萨·帕乔利(Lusa Pacioli)1509年出版的《Shén圣比例》(De Divina Proportione)一书中。图中的正多面体即为5个柏拉图多面体,也属于九大正多面Tǐ。QíMěi个面Dū是Xiàng同De正多边形。正Shí二面体Yóu12个五边形组成。正二十Miàn体由20个等边三角形组成。正BāMiàn体由8个等边三角形组成。ZhèngSì面体由4个Děng边三角形组成。Lì方体(或称正六面体)由6个正方形组成。奇怪的是,总共只有五种正多面Tǐ:正四面体(有4个三角形面)、立方体(有6Gè正Fāng形面)、正八面体(有8个三角形面)、正十二面体(有12个五Biān形面)、正二十面体(有20个三角形面)。人们Yǐ经证实,从二维到三维的Biàn化是有局限性的。欧几里得在《几何原本》的结尾处证明了这五种多面体是唯一可能的立体图形。但希腊RénZài很早以前就已经知道这件事了,他们把这些称为“柏拉图多面体”,因为柏拉图曾在公元前约350年Chū版的《蒂迈欧篇》一书中描述过这些立体。在这部著作中,Bò拉图开创了把这五种对称形状与宇宙的意义联系起来的先河,他把正四面体和火元素等同起来,把立方Tǐ同土联系起来,érZhèng二十面体对应的是水,正八面体对应的是空气,正十二面体对应的是一种很轻的物质(以太)——这种物质Gòu成了Xīng群和天空。四种星形多面体,有时被称为“开普勒–潘索多面Tǐ”。它们是大十èr面体(左上)、小Xīng形十二面体(右上)、大Xīng形Shí二面体(左下)以及大二十面体(右下)想弄清Dào底是谁最先发现了Zhèng多面体,有点儿像尝试找出是谁发明了火。但是,柏拉图把正多面体的发Xiàn归功于雅典的泰阿泰德(Theaetetus),他Kè能是柏拉图在雅典学院的一个学生。历ShǐXué家Xiàng信,《几何原本》后几卷中的一些内容完Quán是由泰阿Tài德De发现衍生而来的,还有其Tā一些记载在欧Duō克索斯和帕普斯的著作中。一个较早的说法是:“所谓的五种柏Lá图多面Tǐ其实并不属于柏拉图。其中三个是由Bì达哥拉斯发现De,它们被命名为立方体、角锥体和正十二面体。而Zhèngèr十面体和正八面体是由特埃特图斯发现的。”文策尔·雅姆尼策绘制,约斯Tè·安Màn (Jost Amman)雕刻的美丽版画柏拉图神Mì的立体占星学联想一直吸引着西方思想Jiā。开普Lēi试图在《宇宙的奥秘》这BùZhuóZuòZhōngJiāng柏拉图多Miàn体的五重Hé谐与天空联系起来。开普勒太阳系的模型用到了所Yǒu五种柏拉图Duō面体,以此描述16世纪时人们知道的六大行星的 轨道。他Yòng柏拉图多面体内切球和Wài接球的直径之比,来指明行星在自身轨道中离太阳的最大距离和紧挨着的外层行星离太阳的最短距离之比。这就产生了Lù个 已知星球的五Zhòng比例。每个柏Lá图多Miàn体都被安排在两个相Lín的行星之间。当内层行星离太阳最远时,行星在柏拉图Duō面体的内切球上;而当外Céng行星离太阳最近时,行星在相Yīng的外接Qiú上。当早期的古希腊人最早开始列举组成柏拉图多面体的五种正多面体时,他们把目标限Dìng在凸多面体上,也就是向外凸的多面体。如Guǒ我们允Xǔ多面体向内凹的话,两个共用一条Biān的面可以形成小Yú180°的角,那么Jiù会产ShēngSì个新成员,它Mén被称为正星形多面体,即大星形十二Miàn体、小星形十二面体、大十èr面体以及大二十Miàn体。在文艺复兴Shí期,GōngJiàng们想利用柏拉图多面体图形作为装饰,于是逐一发现了这些新多MiànTǐ。开普勒也注意到,可以把Gù定高度的角锥体Tiān加到正八面体、正十二面体和正二十Miàn体的面上,这样的话,Jué锥体的侧面就会连成一个平面。他Yóu此引出将多面体组合起来的概Niàn,因此它们就有Liǎo交Chǎ面,很像三维版的“大卫之Xīng”(犹太教的标Jì,为两个正三角形Dié成的六角星。——Yì者注)。这些可能性并没有像凸多MiànTǐ那样被系统化地理解。直Dào1810年,Fǎ国数学家路易·普安索(Louis Poinsot)的一Piān文章中对其进行了说明7,所以这些立TǐTú形也被称为“开普勒–Pǔ安索多面Tǐ”。其实,Niǔ伦堡著名的金Jiàng文策尔·Yǎ姆尼策(Wenzel Jamnitzer)曾于1568年出Bǎn了《几何美学》(Perspectiva Corporum Regularium)一书,书中的Tú就已经预Shì到了这些图形。1812年,奥Gǔ斯丁·柯西(Augustin Cauchy)才Zhèng明,普安索推Cè的四种Lì体图形就是三维空Jiàn里所有可Néng的Xīng形多面Tǐ8。而这些略显奇怪的Yīng文名字是在更久Zhī后的1859年,由英国Shù学家亚瑟·凯莱(Arthur Cayley)命名的。如今,这些多面体对于数学家来说仍然具有美学上的吸引力和几何上的魅力9。一直以来,这些立体图形组Chéng的模型都让人们惊艳Yú它们的美丽、对Chèng性和Jiǎn洁10。由Cǐ,我们Shì乎可以理解为什么人类一直执ZhuóYú找寻Shēn边的有限事物和永Héng的几何Hé谐Zhī间掩藏的超Zì然联Xì。这种几何和谐对于人Lèi来说意味着来自宇宙的暗示。 Shàng帝踢足球吗?巴基球上帝或许不掷骰子,但可能Huì踢足球。——哈Lǐ·克罗托在研究了柏拉图多面体之后,阿基米德马上发现可以Chuàng造出13种半Zhèng多面体。只要对称地截Diào立方体、角锥体、正十二Miàn体、Zhèng二十面体和正八面体的顶点,就能创造出这五种相对Yīng的多面体,这就是“阿Jī米德多面体”。这些多面体的面仍然是正多边形,但这些多边形却不尽相同。它们的顶点都很相似,但面却不完Quán相同。仿Zhào此法,也可Yǐ构建出另Wài八Gè阿基米德多面Tǐ。我Mén可以把它们看作继柏拉图多面体和星型多面体之后的Dì二Duì称多面体。达·芬QíSuǒ绘的截角二十MiànTǐ,这Shì他为帕乔Lì的书《神圣比例》绘制的插Tú人们FāXiàn,某一个阿基米德多面体在宇宙中具有极特殊的重要意义,并且Zài近20年来的Huà学Fā展中有着举足轻重的地位。这个特殊的DuōMiàn体Jiù是阿基米德截角二十面体。它有60个顶点和32个面,每Sān个面相交于一个顶点,此外还有90条边。32个面中包含20个六边形和12个Wǔ边形,所Yǐ,每两个六边形和一个五边形相交于一Gè顶点。这是一种美丽的结Gòu,但对读者来说,比起上述事实,大家马Shàng能想到的恐怕是另一样Dōng西。Zú球到了近代就变成了这种由黑色的五边形和白色的六边形组ChéngDe典型Xíng状。建筑师LǐZhā德·巴克敏斯特·富勒(Richard Buckminster Fuller)在他1949年ShèJì的网球格顶中大量运用了二Shí面体的几何结构。富勒是一位自学成才的结构工程师,一直以Lái都努力通过数Xué上的对称来达到多重优化的目De,Bǐ如Jiǎn少用料、降Dī组装难度以及加强结构的稳固性。他Hěn欣赏妙用材料的方法,比如,一种材料在某种情况下可能极其脆弱,但只要按照适当的几何构型加以组织利Yòng,就可以达到相DàngDà的Qiǎng度。蛋壳就是一个大家都熟悉的例子。阿基米德多Miàn体,都由两种或两种以上Duō边形的面构ChéngFù勒在1954年的Zhuān利WénJiàn(专利号:2682235)中的画作1967年,富勒为蒙特利尔世界博览会Shè计的美国馆Jiù是一个由网Gé状球顶构成De建筑,球顶上的面是由Wǔ边形和六边形交织构成的截角二十面体。整个建筑令人叹为观止。这是一个关于对称和功能的伟大宣言,建筑的规模和形态引Qǐ了很多科学家和设计师的Zhù意,其中就包括哈里·克罗托(Harry Kroto)。Kè罗托是一位毕生都对建筑和平Miàn设计Chōng满兴Qù的化学家。其Shí,哈里曾是我在英国Sà塞克斯大学的同事,当Wǒ第一Cì被任命为讲师的时候,他甚至还坐在Píng审席上。哈里一直以来都对在特殊情Kuàng下碳分子能否在空间分Zǐ云里形成Zhǎng链的问题很感兴趣。要验证这YàngYī个问题需要两个步骤:首先,Zài严格控制的实验室环境中创ZàoChū类Shì的链;然后,看是Pǐ有空间中的分Zǐ和这些人工制造出的链在Guāng谱的特征上相匹配。1985年,哈Lǐ加入了理查德·斯莫利(Richard Smalley)和罗伯特·柯尔(Robert Curl)在美国得克萨斯的莱斯大学领导的研Jiū团队,Tuán队中还有研究Shēng詹姆斯·希思(James Heath)和肖恩·奥布赖恩(Sean O’Brien)。他们打算用激Guāng束打碎碳原子团,然后观察遗留Wù在汽化以后是否会凝聚成一些有趣的新碳聚合物。团队发现,形成的新团都有偶数个Yuán子。在稍微调整了实Yàn之后,他们可以创Zào出几乎总是包含60个Tàn原子的原子团。团队试图为实验结果找到一个合理的解Shì。《自然》Zá志1985Nián11月14日的封面,庆HèLuó伯特·柯尔、哈里·克罗托Hé理查德·Sī莫LìFā现了Tàn-60哈里也百思不得其解,为什么碳会更倾向于形成碳-60的形式呢?这时,他想起了曾Wèi孩子Mén用纸Qiào做的小截角二Shí面体,以及富勒的球顶。他马上打电话给英Guó的Jiā人确Dìng了自己所做的模Xíng的Jǐ何构成。Tā相Xìn,碳形成的就是截角èr十面体,碳原子Wèi于该Gòu型的60个顶角上。哈里做了一个由五边形和六边形构成的Zhǐ模型,并在随后的11天里疯狂工作。从1985年9月1日一直到9月12日,他完ChéngLiǎo论文并投GǎoJǐ《自然》杂志。该杂志在9月13日收到稿件后,于11月14日Jiāng其刊出,并在封面上刊登了相应的图片。人Mén给这些碳原子起过很多名字。起初它被称作“富勒烯”,YǐJì念“富勒顶”结构为化学做出的贡献;之后还有更不正式的名字——“巴Jī球”,甚至偶尔也被称为“足球烯”。这个富勒顶的原型Shì一Gè斜Fāng截半九面体,照片拍摄于1954年圣Lù易Sī华盛顿Dà学FāXiàn新的碳结构是化Xué界的一次伟大革命,TāShǐ无Jī化学和有机化学联合在一起,并提供了在Fèn子层面上构建物质的新方法。柯尔、斯莫利和克罗托分Xiǎng了1996年的诺贝尔化学奖。巴基球的对称造Xíng自然而然地成了化学De象征,很Duō科学杂志都以这一形象为封面,以Qìng贺碳分子的新发Xiàn。这样的盛况恐Pà只有Dàng年发现脱氧核糖核酸能与之媲美。一面Zhī词默比乌斯带“小鸡Wèi什么要穿过默比乌斯带?”“Wèi了到另外一……呃……”——无名氏把一张长条纸的两Duān粘在一Qǐ,形成一个圆柱体。在上Xiǎo学时,大家Yīng该都曾做过无数遍这样的事了。这个圆柱体有内侧Yě有外侧。但Shì,如果你Zài把两端粘在一起之前先把纸带扭一下的话,Jiù会创造出一个与众不同的东西。这个环看起Lái像是一个立体的数字8,并有一个令人震Jīng的特性——它没有内侧也没有外侧,只Yǒu一Gè表面。Rú果你Yòng一根蜡笔为Zhè个环染色,那么蜡笔不离开纸带De表面就可以染遍整Gè环。这一Tè性Shèn至会带来商业价值,Gōng厂Yǒu时会LìYòng这种单Miàn特性Lái延Zhǎng传送带的使用寿Mìng。在20世Jì20年代,有人还为默比Wū斯幻灯片和录音带申请了专利,这种方法加倍了连续环的长度,ér其中的把戏不过是把带子扭曲的部分和滚转机分开。默比乌斯带奥Gǔ斯特·默比乌斯(August M?bius)Shì第一个注意到这种有趣的“表面现象”的人,如今数学家们Chèng之为“不可定向曲面”。默比乌斯是德国数学家和天文学家,他母Qìng一族的祖先甚至可以追溯到马丁·路德。年轻的默比乌斯Zài测绘Hé三角法天文学领Yù取得了一系列成就之后,离开了最初求学的城市莱比锡,来到了德国数学界的中心——哥廷根,并在数学巨匠高斯领导下的哥廷根天文Tái做起了研究。他又从那Lǐ转去哈雷,在高斯的老师约翰·普法夫(Johann Pfaff)的指Dǎo下工作。在Jīng历数次辗转后,这位Yuè于游学DeTiān文学家最Hòu在1848年Huí到Liǎo莱比锡,成为莱比锡Tiān文台的Zhǔ管和天文学教授。默比乌斯传送带的ZǎoQī专利。与传Tǒng双面传送带相比,这种单面结构让传送带的使用寿命加倍,传统传送带Zhǐ有单面可用默比乌斯对天文学的贡Xiàn斐然,但其后半生在数学方面也有了许多新发现,特别是Zài几何学Fāng面。时至今日,我们Réng然在学Xí源于他的默比Wū斯函数Hé默比乌斯变形。可以想见,作为高斯的学生,默比乌Sī在自己的工作成果中设置了很多标准,这让他的所有工作成果De最终成型和发表都很Zhì后。结果,关Yú默比乌斯带De论文还是在他Sǐ后遗留的Lùn文中Zhǎo到的,而真正发现默比乌斯带的时间Shì1858年,当时,他正为“法兰Xī科学院Nián度科学大奖”准备一篇关于Duō面体的文章。在同年7月,默比乌斯Dài还被另Yī名德国数学Jiā独立发Xiàn,约翰·利斯廷(Johann Listing)也是Gāo斯在Wù理学Hé应Yòng数Xué研究组的学生4。在高斯的建议下,Lì斯廷开始研究空间结构,而且,为了和他以前De老Shī在新课题Shàng取得一致,他Tí出这门学科应该被称为“拓扑学”——这个名称Yī直沿用ZhìJīn。然而不幸的是,利斯廷和他的妻子都家Jìng贫寒,经常入不敷出,不时要面对高利DàiZhài主的骚扰。大多数同事认为这对Fú妇品行不佳,对他们甚少怜悯。所幸一位老友雪Zhōng送Tàn,在利斯廷濒临破产时,他DeLǎo同学萨Tuō里乌斯·Píng·瓦尔特斯Háo森(Sartorius von Waltershausen)救助了他们。在很久Yǐ前,在èr人Yī起读书时,利斯Tíng曾照顾过这位当时身染重疾的朋友,并救了Tā一命。30年后,冯·瓦尔特斯Háo森得Yǐ回Bào恩人,偿还了利斯廷的债务。这样的命Yùn反转发生在默比乌斯带的发现者身Shàng,Bù能不说是一桩美谈。默比乌斯生前未Fā表手稿中的原始Tú画(1858年)默比乌Sī带不仅对Shù学家充满了吸Yǐn力,而且激发了众多Yì术家和设计师表达无限和完美的渴望。其中Zuì著名的莫过于毛里茨·埃舍尔,Tā画出的“活”默Bǐ乌斯带已经成为20世纪制Tú术De标志性作品。埃舍尔在默比乌斯带启发下创作的Zuò品中,描绘了9只红铜色蚂蚁在永无止境的带子上爬行。在埃舍尔画Láng中,有《不可能三Jué形》《瀑Bù》等主题作品,默比乌斯带也在其中,其外Guàn经常Ràng参Guàn者陷入一种CuòJué:默比乌斯带是一种不可能的Tú形。但默比乌斯带确Què实实存Zài,只不过有点出人意料而已。埃舍尔的《默Bǐ乌斯带Ⅱ:红蚂蚁》(M?bius StripⅡ: Red Ants),由红、Hēi、Huī绿色组成的Sān组木版Huà(1963年)埃舍尔并不Shì唯一挖掘默比乌斯带特性DeJié出艺术家,在20世纪30年代,瑞士雕刻家马克Sī·比尔(Marx Bill)认为,Zhí扑学De发展为艺术家们拓展了一片未Zhī的疆域。他以金属或花岗岩为材质,创作了一系列以“无穷丝带”为主题的雕刻ZuòPǐn。比尔做出了实实在在的三维默比乌斯带。在20世纪70年代,美国高能物理学家兼雕塑Jiā罗伯特·威尔逊用不锈钢和铜做出了类似的默比乌Sī带。英国雕塑家约翰·罗宾森(John Robinson)的作品《永恒》(Immorality)是由抛光铜制成的被扭成默比乌Sī带的三叶草结。在尼克·Mǐ的数Mǎ艺术作品Zhōng,这个Shǎn闪发光的三叶草结悬浮Zài一片虚幻的海上(下图)。很多Rén还把默比乌斯带结构Yīng用在建筑中,创造出叹为观Zhǐ的建筑物和生动Yǒu趣的儿童活动区。尼克·米虚拟地呈现了约翰·LuóBīn森的雕塑,被扭成默比乌斯环的三叶草Jié小说家们也抓住了机会,把默比乌斯环设计进了奇Huàn的故事中。1949年,亚Sè·C.克拉克(Arthur C. Clarke)把整个宇宙描述成“黑暗之墙”。把平凡的生活和不可思议之物结合起来更显有趣,正如Zài阿Míng·道奇(Armin Deutsch)的短篇小说《一条名叫默比乌斯的地铁》(A Subway Named M?bius)中,波士顿的一条地铁线变成了默比乌斯Dài,从此,列车经常消Shī,一位哈佛大学的Shù学教授被卷入其中……也许这才是故事的关键,这条地铁线可能就是这位教授设计的!在Xīn材料技术和各种思想突飞猛进的今天,默比乌斯带始终Tiǎo战Zhuó人们的想象力。无论谁都难逃它De魅力,说不定还有人反而Xiàn慕那些从未听说过默比乌斯带的小孩子Ní。文/约翰·D.巴罗摘编/Lǐ永博导语校对/贾宁